第3回公認心理師試験・午前問7は、統計的仮説検定、t検定、Pearsonの相関係数についての基礎理解を問う問題です。
正答は①「t検定では、自由度が大きいほど、帰無仮説の上側確率に基づく棄却の限界値は小さい」です。
この問題では、「有意差がない＝差がない」「有意な相関＝強い相関」といった典型的な誤解を避けることが重要です。
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【問7】統計的仮説検定
問7 統計的仮説検定の説明として、正しいものを1つ選べ。
① t検定では、自由度が大きいほど、帰無仮説の上側確率に基づく棄却の限界値は小さい。
② 2つの条件の平均に有意な差が認められない場合、それらの平均には差がないといえる。
③ K. Pearsonの相関係数が0.1％水準で有意であった場合、2つの変数間に強い相関があるといえる。
④ 対応のない2群のt検定では、各群の標準偏差が大きいほど、有意な差があるという結果が生じやすい。
⑤ K. Pearsonの相関係数の有意性検定では、サンプルサイズが小さいほど、帰無仮説の上側確率に基づく棄却の限界値は小さい。
正答：①
第3回公認心理師試験の午前問題冊子と正答は、公認心理師試験研修センターの公式資料で確認できます。
第3回公認心理師試験（令和2年12月20日実施）｜公認心理師試験研修センター
①が正しい理由：自由度が大きいほどt分布の臨界値は小さくなる
t検定では、帰無仮説のもとで得られるt統計量をt分布と比較して判断します。
t分布は自由度によって形が変わり、自由度が小さいと裾が厚く、自由度が大きくなるにつれて標準正規分布に近づきます。
NISTのStudentのt分布の臨界値表を見ると、同じ上側確率を基準にした場合、自由度が増えるにつれて正の臨界値は小さくなっていくことが確認できます。
自由度↑ → t分布の裾が標準正規分布に近づく → 同じ有意水準での臨界t値は小さくなる
したがって①が正答です。
自由度はいつでも「n−1」ではない
旧記事では、自由度を「通常、サンプル数n−1」と単純化していましたが、これはすべてのt検定に当てはまるわけではありません。
- 1標本t検定：一般に df = n−1
- 対応のあるt検定：差得点について考えるため、一般に df = n−1
- 等分散を仮定する対応のない2群のt検定：一般に df = n1+n2−2
- Welchのt検定：分散と標本サイズから近似的な自由度を計算する
試験では、「自由度は検定の種類によって決まる」と理解しておく方が正確です。
② 「有意差がない」から「差がない」とはいえない
②は誤りです。
統計的検定で有意差が認められなかった場合に言えるのは、基本的には設定した有意水準で帰無仮説を棄却できなかったということです。
これは「2群の平均が完全に同じであることが証明された」という意味ではありません。
検出力が不足していた、標本サイズが小さかった、ばらつきが大きかったなどの理由で、本当に存在する差を検出できないこともあります。
p > α → 「差がないと証明」ではなく、「帰無仮説を棄却できない」
と整理しましょう。
③ 「統計的に有意」と「相関が強い」は別
③も誤りです。
Pearsonの相関係数では、相関係数rそのものが線形関係の方向と大きさを表します。一方、p値は、帰無仮説のもとで観測された結果以上に極端な結果が得られる確率に関する指標です。
したがって、0.1％水準で有意であっても、それだけで「強い相関」とは判断できません。
標本サイズが大きければ、比較的小さな相関でも統計的に有意になることがあります。
相関の強さを見る → rの大きさ
統計的有意性を見る → p値や信頼区間
という区別が重要です。
④ 標準偏差が大きいほど有意になりやすい？
④は誤りです。
対応のない2群のt検定では、平均差をその標準誤差で割ってt統計量を求めます。
SciPyの独立2標本t検定の説明でも、t統計量は平均値の差 ÷ 標準誤差として整理されています。
他の条件が同じなら、群内のばらつきが大きくなるほど標準誤差も大きくなり、|t|は小さくなります。そのため、むしろ有意差は得られにくくなります。
ばらつき↑ → 標準誤差↑ → |t|↓ → 有意になりにくい
⑤ Pearsonの相関：標本サイズが小さいほど臨界値は小さい？
⑤も誤りです。
Pearsonの相関係数の有意性検定では、標本サイズもp値に影響します。
標本サイズが小さい場合には、同じ有意水準で帰無仮説を棄却するために、一般により大きな絶対値の相関係数が必要です。
逆に標本サイズが大きいと、小さめの相関でも統計的に有意になることがあります。
したがって、「サンプルサイズが小さいほど棄却の限界値が小さい」という⑤は逆です。
5つの選択肢を整理
| 選択肢 | ポイント | 判定 |
|---|---|---|
| ① 自由度が大きいほどtの臨界値は小さい | 同じ上側確率・有意水準では臨界t値が低下する | 正答 |
| ② 有意差なし＝平均差なし | 棄却できないことと、差がないことの証明は別 | 誤り |
| ③ 有意な相関＝強い相関 | 有意性と効果の大きさは別 | 誤り |
| ④ 標準偏差が大きいほど有意になりやすい | 他条件一定なら標準誤差が大きくなり、有意になりにくい | 誤り |
| ⑤ 標本サイズが小さいほど相関の臨界値は小さい | 一般に小標本ほど、より大きな|r|が必要 | 誤り |
p値について最低限押さえること
American Statistical Association（ASA）は、p値の解釈について、p値だけで科学的結論や実務上の判断を決めるべきではないと注意を促しています。
試験対策としては、次の3点を区別できれば十分です。
- p値が小さいことは、効果が大きいことを意味しない
- p値が大きいことは、「効果がゼロ」と証明したことを意味しない
- 標本サイズはp値に影響する
統計的有意性だけでなく、効果量、信頼区間、研究デザインなどもあわせて解釈することが重要です。
旧記事から修正したポイント
旧記事には、統計的仮説検定についていくつか過度に単純化した説明がありました。
今回の改訂では、
- 自由度を常に「n−1」としない
- 「帰無仮説を棄却できない」と「差がない」を区別する
- 「有意な相関」と「強い相関」を区別する
- 標準偏差が大きいほどt値が大きくなる、という誤解を避ける
- 小標本では相関の有意性判定により大きな|r|が必要になることを整理する
- 「対立仮説を正しいと証明する」といった断定的表現を避ける
という形に修正しました。
試験対策ではここまで覚える
- 自由度が大きいほど、同じ有意水準でのtの臨界値は小さくなる
- 有意差なし ≠ 差がないことの証明
- 有意な相関 ≠ 強い相関
- ばらつきが大きいほど、他条件一定ならt検定は有意になりにくい
- 小標本ほど、相関の有意性にはより大きな|r|が必要
- p値と効果量を混同しない
問7の中心：統計的有意性と「差・相関の大きさ」は別物
まとめ
第3回公認心理師試験・午前問7の正答は、①「t検定では、自由度が大きいほど、帰無仮説の上側確率に基づく棄却の限界値は小さい」です。
t分布では、自由度が大きくなるにつれて臨界値が小さくなります。一方、統計的に有意でないことは「差がない」ことの証明ではなく、統計的に有意な相関も、それだけで「強い相関」を意味しません。
この問題では、自由度・臨界値・p値・効果量・標本サイズの役割を分けて理解することがポイントです。
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